Sabda EINSTEIN Tentang Hidup

SETIDAKNYA FILSAFAT YANG DIUTARAKAN ALBERT EINSTEIN DAPAT MEMBERI KITA PENCERAHAN..

Semoga Bermamfaat...
hmmmmmm siapa Tahuu...

STATISTIK BOSE-EINSTEIN ( Fisika Lanjut)

1.  STATISTIK BOSE-EINSTEIN

Sifat Dasar Boson Sifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari konsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem  tersebut memenuhi dengan m massa sistem dan laju sistem. Karena m untuk sistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombang cukup besar. Panjanggelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang berdekatan menjadi tumpang tindih. Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih, maka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi gelombang tersebut. Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekulgas. Massa sistem sangat besar sehingga sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi tumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip sistem-sistem tersebut dapat dibedakan. Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku seperti sistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggi kecepatan sistem sangat besar sehingga panjang gelombangnya sangat kecil. Akibatnya, tumpang tindih gelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan. Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson dan fermion. Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dari . Sistem ini tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion memiliki spin yang merupakan kelipatan ganjil dari . Sistem ini memenuhi prinsip eksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan yang sama. 1

1.2 Konfigurasi Boson Statistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose-Einstein. Untuk menentukan fungsi distribusi Bose-Einstein, kita terlebih dahulu harus menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar. Konfigurasi ini memiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi lainnya sehingga hampir seluruh waktu sistem boson membentuk konfigurasi tersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada konfigurasi maksimum tersebut. Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem dalam assembli atas M kelompok sebagai berikut : Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan dan eneri rata-rata Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata - - Kelompok-s memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata - - - Kelompok-M memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rataKita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika : Terdapat sistem di kelompok-1 Terdapat sistem di kelompok-2 - - - 2

3. Terdapat sistem dikelompok-s - - - Terdapat sistem di kelompok-M Jika ditinjau kelompok-1 di mana terdapat keadaan dan sistem. Mari kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitung jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut :Gambar 1.1 Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson dalam tingkat-tingkat energi. Untuk merepresentasikan sistem boson, bagian paling bawah harus selalu kursi. 3

4. Dari gambar 1.1, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung bawah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi (sistem harus menempati tingkat energi). Oleh karena itu, jika jumlah total kursi adalah jumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan harga karena salah satu kursi harus tetap di ujung bawah. Bersama dengan sistem banyak , maka jumlah total benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson adalah( Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang dapatdilakukan adalah . Karena sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, maka pertukaran sesama sistem dan sesama kursi tidak menghasilkan penyusunan yang berbeda. Jumlah penyusunan sebanyak ! Secara emplisit memperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. Jumlah pertukaran antar sistem adalah dan pertukaran jumlah antar kursi adalah Oleh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk boson di dalam keadaan hanyalah Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung keadaandengan populasi sistem. Jumlah cara penyusunan yang berada sistem-sistem, ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalah terakhir hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbeda untuk sistem dalam keadaan adalah akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan sistemdi dalam keadaan, sistem di dalam …., sistem dalam keadaanadalah 4

5. Harus juga diperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilan N sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah tersebut harus dibagi dengan N!,sehingga jumlah total cara membawa N sistem kedalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!=1. Akhirnya, kita dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala1.3 Konfigurasi Maksimum Selanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluangkemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan (1.5) Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukanpenyederhanaan sebagai berikut :Dengan pendekatan tersebut maka persamaan (1.6) menjadi : 5

6. Jumlah total sistem serta energi total assembli memenuhi Untuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran system maupun energi antara assembli dan lingkungan. Jumlah sistem maupun energy assembli constant. Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini : Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memaksimumkan ln W. Dengan memperhatikan konstrain pada persamaan (1.8)dan (1.9) maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi (1.10)Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan (1.7) diperolehHitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan (1.11)i) 6

7. ii)iii)iv)Persamaan (1.11) selanjutnya menjadiKarena dan maka sehingga persamaan(1.12) dapat disederhanakan lebih lanjut menjadiSubtitusikan persamaan (1.8), (1.9), dan (1.13) ke dalam persamaan (1.10)diperolehAtau 7

8. Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi . Ini dijamin ika bagian didalam kurung selalu nol, yaituDan akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energisebagai berikutTernyata untuk assembli boson, parameter juga berbentuk Dengandemikian, bentuk lengkap fungsi Bose-Einstein untuk assembli boson adalah1.4 Parameter untuk foton dan fonon Parameter pada persamaan (1.16).ada satu kekhususan untuk assemblifoton (kuantisasi gelombng elektromagnetik) dan fonon (kuantitasi getaran atomdalam Kristal) dan ini berimplikasi pada nilai parameter Dalam suatu kotak,foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang berada pada dindingkotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlahfoton bias bertambah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan biasberkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam inipembatasan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidakberlaku. Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telahmengamsusikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu . 8

9. Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktorpengali Langrange . Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untukassembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton dan fonon maka nilaiharus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacamini menjadi 9

10. APLIKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN

 Radiasi Benda HitamTeori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum danfisika modern.Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalorterbaik.Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gasfoton.Jumlah foton dalam kotak tidak selalu konstan.Ada kalanya foton diserapoleh atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom didinding kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlahfoton yang tidak konstan ini maka faktor Bose-Einstein untuk gas foton adalahYang diperoleh dengan menggunakanFoton adalah kuantum gelombang elektromagnetik.Ekstensi fotondirespresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karenagelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi)yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan duakali kerapatan gelombang stasioner, yaitu :Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara sampai adalahKarena energi satu foton adalah maka energy foton yang memilikipanjang gelombang antara sampai adalah 10

11. Hukum Pergeseran WienGambar 1.2 adalah plot E( sebagai fungsi pada berbagai suhu. Tampak bahwaE( mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum padapanjang gelombang . Kita dapat menentukan dengan mendiferensial E(terhadap dab menyamakan dengan Gambar 1.2Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhuBerdasarkan persamaan (1.20) maka 11

12. Untuk memudahkan diferensial persamaan (1.22) persamaan diatas kita misal . Dengan pemisalan tersebut maka dapat ditulisAgar terpenuhi maka pada persamaan 1.24 harus memenuhiJika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikutNilai x pada persamaan (1.26)dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jikamenggunakan instruksi Wolfram Research, maka solusi untuk x yangmemenuhipersamaan 91.26) adalah 0,194197. Dengan demikian, memenuhihubunganAtaudengan menggunakan nilai konstanta k=1,38x h= 6,625 x , dan maka kita peroleh 12

13. Gambar 1.3 Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari (gari).Gambar 1.4Warna bintang menunjukan suhu bintang. Semakain menuju kewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhu bintang semakin rendah apabila menuju ke warna merah. 13

14. Persamaan (1.28) tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran Wien. Hukumini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitasmaksimum yang dipancarkan benda tersebut.Makin tinggi suhu benda makamakin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna bendabergeser kea rah biru.Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logamberubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya kebiru-biruan.Ini akibat suhu benda yang semakin tinggi.Hukum pergeseran Wientelah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrumelektromagnetik yang dipancarkan.Energi yang dipancarkan benda diukur padaberbagai panjang gelombang.Kemudian intensitas tersebut diplot terhadappanjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukumpegeseran Wien guna memprediksi suhu benda.Pada astronom memperkirakansuhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan olehbintang-bintang tersebut.2.1.2 Persamaan Stefan-BoltzmannSebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semuajangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga.Hanya intensitas gelombangyang dipancarkan berbeda-beda.Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitasyang dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju takberhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitasgelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat .Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh denganmengintegralkan persamaan (1.20) dari panjang gelombang nol sampai takberhingga, yaitu 14

15. Untuk menyelesaikan persamaan integral (1.29) misalkan . Denganpemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini :Syarat batas yang berlaku bagi y. saat maka y=~ dan saat maka y=0.Dengan demikian, dalam variable y integral (1.29) menjadiPersamaan (1.30) merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubunganantara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah 15

16. Persamaan (1.31) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman. Jadi padapersamaan   (1.31) kita dapat menyamakanDengan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkanSelanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain kita dapatkannilai konstanta Stefan-boltzman.2.1.3 Cosmic Microwave Background (CMB) Salah satu gejala penting sebagai hasil peristiwa Big bang adalahkeberadaan radiasi yang bersifat isotropic (sama ke segala arah) di alam semestadalam panjang gelombang mikro. Gejala ini selanjutnya dikenal dengan icosmicmicrowave background (CMB). Radiasi ini benar-benar isotropic.Penyimpangandari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu.Dua astronom muda, Arno Penziasdan Robert Wilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun 1965dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti.Dengananggapan bahwa alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelahdilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini padaberbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fitdengan persamaan radiasi benda hitam (1.4) disimpulkan bahwa suhu rata-rataalam semesta sekarang adalah 2,725 K. 16

17. Gambar 1.5CMB dengan persamaan radiasi benda hitam Gambar 1.6Variasi suhu alam semesta berdasarkan posisiAda sekitar variasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalamgambar diatas. Bagian berwarna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna birusedikit lebih dingin dengan penyimpangan 0,0002 derajat. 17

18. 2.2 Kapasitas kalor Kristal Dalam Kristal-kristal atom bervibrasi.Jika diselesaikan dengan mekanikakuantum maka energy vibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi.Kuantisasigetaran atom tersebut disebut fonon. Energy fonon dengan bilangan kuantum nadalah . Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsidistribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil . Fungsi distribusitersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton. Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang, , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat ditulisJika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebutadalahPenjumlahan terhadap dilakukan engan asumsi bahwa adalah integer. Tetapijika adalah variable kontinu maka penjumahan terhadap dapat diganti denganintegral dengan melakukan transformasi berikut iniTetapi karena merupakan fungsi maka kita dapat mengubah integral terhadap menjadi integral terhadap dengan melakukan transformasiAkhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan (1.34) menjadi 18

19. Dari definisi energy dalam persamaan (1.37) maka kita dapat menentukankapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikutUntuk menyederhanakan persamaan (1.38) mari kita lihat suku diferensial dalampersamaan tersebut. Untuk mempermudah kita misalkan . Denganpemisalan tersebut makaDengan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis 19

20. 2.2.1 Model Einstein Untuk mencari kapasitas kalor Kristal, Einstein mengusulkan modelbahwa semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama,dengan asumsi ini maka dapat ditulisDi mana merupakanfungsi data dirac. Dengan model ini kita dapatkankapasitas kalor Kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesarUntuk Kristal 3 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi fonon yang mungkin (arahsumbu x, y, dan z).dengan menganggap bahwa ke tiga polarisasi tersebutmemberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas kalor totalmenjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan (1.41), yaitu menjadiTinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T dan T .dalam kondisi Tmaka exp [ sehingga exp [ akibatnya 20

21. Perhatikan suku pembilang danpenyebut pada persamaan (1.43).jika T makasuku penyebut dan suku pembilang sehingga kita dapatmengaproksimasiDengan aproksmasi ini maka persamaan (1.42) dapat ditulis menjadiDengan bilangan Avogadro, n jumlah mold an R= konstanta gas umum.Hasil ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bahwa kapasitas kalorpersatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 3R. Gambar 1.7 adalah perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalorintan (symbol) dan prediksi dengan model Einstein. Terdapat kesesuaian yangbaik antara prediksi model tersebut dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitaskalor yang menuju nol jika suhu menuju nol dan nilai kapasitas kalor menujukonstanta dulong-petit pada suhu tinggi. 21

22. Gambar 1.7Kapasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan (simbol) dan prediksi menggunakan model kapasitas panas Einstein.Model Einstein dapat menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panasterhadap suhu. Sesuai dengan pengamatan experiment bahwa pada suhu menujunol kapasitas panas menuju nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilaiyang diramalkan Dulong-petit.Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpanganantara data eksperimen dengan ramalan Einstein.Pada suhu yang menuju nol, hasileksperimen memperlihatkan bahwa kapasitas panas berubah sebagai fungsi kubik9pangkat tiga) dari suhu, bukan seperti pada persamaan (1.42).oleh karena ituperlu penyempurnaan pada model Einstein untuk mendapatkan hasil yang persissama dengan eksperimen.2.2.2 Model Debeye Salah satu masalah yang muncul dalam model Einstein adalah asumsibahwa semua fonon bervibrasi dengan frekuensi yang sama. Tidak ada justifikasiuntuk asumsi ini.Asumsi ini digunakan semata-mata karena kemudahanmendapatkan solusi.Oleh karena itu hasil yang lebih tepat diharapkan muncul jikadianggap frekuensi fonon tidak seragam.Asumsi ini digunakan oleh Debeye untukmembangun teori kapasitas panas yang lebih teliti. Namun, sebelum masuk ke 22

23. teori Debeye kita akan terlebih dahulu membahas kerapatan keadaan untuk kisidalam usaha mencari ekspresi yang tepat untukFrekuensi getaran kisi dalam Kristal secara umum tidak konstan, tetapibergantung pada bilangan gelombang. Persamaan yang menyatakankebergantungan frekuensi dengan bilangan gelombang dinamakan persamaandispersi, . Dari persamaan dispersi tersebut dapat diturunkan persamaankerapatan keadaan sebagai berikutKebergantungan terhadap kadang sangat kompleks. Sebagai contoh, untukKristal satu dimensi, kita peroleh persamaan dispersi ,dengan m massa atom, C konstanta pegas getaran kisi, dan a jarak antar atomdalam kisi (periodisitas). Namuun, jika sangat kecil, atau panjang gelombangyang besat ( , jika dapatkan sebuah persamaan aproksimasiDengan disebut kecepatan grup. Dalam membangun model kapasitas panas,Deybe mengambil asumsi sebagai berikut : i. Frekuensi getaran kisi memenuhi persamaan dispersi ii. Ada sebuah frekuensi maksimum, yang boleh dimiliki fonon dalam kristal sehingga tidak ada fonon yang dimiliki frekuensi di atas .Dari persamaan dispersi (1.46) kita dapatkan bahwa untuk ≤ , dan sehingga kerapatan keaadaan pada persamaan (1.45) menjadi . Akhirnya jika gabung dengan asumsi kedua tentan adanya frekuensimaksimum getaran fonon diperoleh ungkapan umum untuk kerapatan keadaansebagai berikut : 23

24. Gambar 1.8Kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein dan DebeyePerbedaan kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein danDeybe diperlihatkan pada gambar 1.8. Berapa nilai pada model Debye? Untukmenentukan kita kembali pada defenisi bahwa adalah jumlah keadaanper satuan frekuensi. Karena frekuensi maksimum fonon adalah maka integral dari frekuensi 0 sampai memberikan jumlah total keadaan yang dimilikifonon, dan itu sama dengan jumlah atom, N . Jadi, 24

25. Yang memberikan ungkapan untuk frekuensi maksimumUntuk kemudahan mari kita didefenisikan suhu Debye, , berdasarkan hubunganiniDengan definisi di atas didapatkanKita asumsikan bahwa kapasitar kalor kisi yang dihasilkan oleh tiap polarisasifonon sama besarnya. Karena terdapat tiga polarisasi getaran yang mungkinanmaka penjumlahan terhadap indeks dalam persamaan (1.39) mengahasilakantiga kali nilai per polarisasi. Akibatnya, tanda sumasi dapat diganti dengan tigadan kita peroleh kapasitas panas yang disumbangkan oleh semua polarisasimenjadi, 25

26. Untuk menyelesaikan integral pada persamaan (1.51) kita misalkan . Dengan permisalan tersebut makaSelanjutnya, syarat batas untuk x ditentukan sebagai berikut. Jika maka dan jika maka . Dengan demikian, bentukintegral untuk kapasitas panas menjadiBerdasarkan definisi pada persamaan (1.50) maka dapat ditulis atau . Subtitusikan hubungan ini ke dalampersamaan (1.52) maka diperoleh ungkapan kapasitas kalor dalam bentuk yanglebih sederhana sebagai berikutSelanjutnya integral tidak bergantung lagi pada T dan hasil integral adalah sebuahbilangan. Jika menggunakan program Mathematic, maka diperoleh hasil integralpada persamaan (1.53) adalahDengan demikian, untuk T diperoleh 26

27. DenganPersamaan (1.56) sangat sesuai dengan hasil eksperimen.Sebaliknya, untuk maka penyebut pada persamaan (1.52) dapat diaproksmasi danpada pembilang dapat diaproksimasi sehinggaYang juga persis sama dengan ramalan Dulong-Petit. 27

28. Gambar 1.9 Kapasitas kalor argon padat diukur pada suhu jauh di bawah suhu Debeye. Garis adalah hasil perhitungan menggunakan teori Debeye (kittel, hal 125)Gambar diatas adalah hasil pengukuran kapasitas panas argon padat (titik-titik)beserta kurva yang diperoleh menggunakan model Deybe. Tampakbahwa ramalanDeybe tentang kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu sangatsesuai dengan hasil pengamatan. Teori Deybe dan Einstein hanya berbeda padasuhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksi hasil yangsangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi ke dua teori memberikan prediksiyang sama persis sama dengan hukum Dulong-Petit.2.3 Kondensasi Bose-EinsteinGambar 1.10Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan fenomena kondensasi Bose-Einstein.Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose-Einstein. Jumlah sistem yangmenempati keadaan dengan energi pada suhu T adalahTampak jelas dari ungkapan di atas bahwa pada suhu yang sangat rendah sistem-sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. Jika 28

29. T maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah, tingkatenergi kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. Jumlah sistem yangmenempati keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan.Hampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhudidinginkan hingga dalam orde . Gambar diatas memperlihatkan evolusipopulasi boson pada tingkat energi terendah (bagian tengah kurva). Pada suhuT<<Tc hampir semua boson berada pada tingkat energi paling rendah. Namun, ada fenomena yang menarik di sini. Ternyata untuk boson,keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah yangsangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari Dengan kata lain,boson tidak perlu menunggu suhu serendah untuk mendapatkansistemdalam jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Padabeberapa material, seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkatenergi terendah dapat diamati pada suhu setinggi 3K. Jadi terjadi semacamkondensasi boson pada suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. Fenomenaini dikenal dengan kondensai Bose-Einstein.2.3.1 Kebergantungan Potensial Kimia Pada Suhu Mari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose-Einstein. Untukmudahnya kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi Populasi keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan olehpersamaan (1.53). Jumlah populasi yang menempati tingkat energi terendah( adalahPada suhu T hampir semua sistem menempati keadaan dengan energiterendah. Dengan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-kira sama dengan jumlah total sistem, atau 29

30. Karena nilai N sangat besar (dalam orde maka ketika T penyebut pada1/[ harus menuju nol. Jika tidak maka 1/[ tidakakan menghasilkan nilai N yang snagat besar. Nilai [ akan menujunol hanya jika menuju satu. Dari sifat fungsi eksponensial bahwa mendekati 1 jika x . Jadi disimpulan bahwa pada T akan berlaku maka dapat dilakukan aproksimasiJadi dapat diaproksimasikan sebagai berikut iniAtauHubungan pada persamaan (1.57) menyatakan bahwa pada suhu T menuju 0 maka berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi, padaT=1 K dan N= maka . Ini adalah nilai yang sangatkecil. Bahkan nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat energiterdekat dalam assembli atom helium di alam kubus dengan sisi 1 cm.Kebergantungan pada suhu itulah yang menyebabkan peristiwa kondensasiBose-Einstein. Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose-Einstein, perhatikansistem-sistem yang berada dalam kubus dengan sisi L. Tingkat-tingkat energy yang dimiliki assembli memenuhi 30

31. Tingkat energi terendah bersesuaian dengan , yaituSalah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan yaitu,Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalahJika assembli tersebut adalah atom helium dalam kubusdengan sisi 1 cm makan . Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertamadan tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik Maxwell-BoltzmanadalahPada suhu T = 1 mK makaHasil diatas berarti bahwa pada suhu 1 mk, tingkat energi terendah dan eksitansipertama memiliki populasi yang hampir sama. Namun, dengan statistik Bose-Einstein didapatkan hasil yang sangat berbeda. Dnegan asumsi N= dan suhuT= 1 mK maka kita perolehJumlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama (tepat di atastingkat energi paling rendah) adalah 31

32. Karena maka . Lebih lanjut, mengingat maka . Dengan demikianDengan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalahTampak bahwa fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. Iniberarti bahwa sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.2.3.2 Suhu Kondensasi EinsteinKerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis denganPada suhu T menuju 0 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah denganjumlah yang sangat signifikan. Jumlah total sistem dalam assembli dapat ditulis 32

33. Dengan adalah jumlah sistem pada tingkat energi terendah dan dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-tingkat energilainnya.Dengan mengambil skala energi maka jumlah sistem pada tingkat energiterendah dapat ditulisJumlah sistem yang menempati semua tingkat energi lainnya adalahMisalkan E/kT=x. Dengan demikianSelanjutnya integralnya dapat ditulisAkhirnya didapatkan (1.62)Dengan dinamakan konsentrasi kuantum. 33

34. Kita definisikan suku kondensasi Bose-Einstein, sebagai suhu ketika jumlahsistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem. Jadi padaT= terpenuhi . Dengan menggunakan persamaan (1.62) didapatkanbahwa pada suhu kondensasi Bose-Einstein terpenuhiYang memberikanGambar 1.11Fraksi superfluida (sistem yang menempati keadaan dasar) dan fluida normal (sistem yang menempati keadaan eksitasi) dalam assembli boson sebagai fungsi suhu ketika suhu berada di bawah suhu kondensasi Bose-Einstein.Pada sembarang suhu yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem padakeadaan tereksitasi adalahBerarti pula bahwa fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah 34

35. Gambar 1.11 adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energiterendah dan boson yang menempati keadaan terkesitasi sebagai fungsisuhu. Boson yang terkodensasi membentuk fase yang dinamakan superfluida danboson yang menempati keadaan tereksitasi dinamakan fluida normal. Superfluidahanya dijumpai ketika suhu lebih rendah dari .CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN1. Perlihatkan menggunakan definisi entropi bahwa !Penyelesaian : 35

36. Entropi, secara mikroskopik didefinisikan sebagaiVariasi kecil, menggunakan variasiKarena itu, derivative terhadap energi dalam hubunganMemberikanDengan menggunakan batasan danMakaDan 36