1. STATISTIK BOSE-EINSTEIN
Sifat Dasar Boson Sifat
sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari konsep gelombang sistem.
Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebut memenuhi dengan m massa
sistem dan laju sistem. Karena m untuk sistem sub atomic sangat
kecil maka panjang gelombang cukup besar. Panjanggelombang yang besar
menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang berdekatan menjadi tumpang
tindih. Kalau
dua fungsi gelombang tumpang tindih, maka
kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi gelombang tersebut. Kondisi
sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekulgas. Massa sistem sangat besar
sehingga sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi tumpang tindih fungsi
gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip sistem-sistem tersebut
dapat dibedakan. Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat
berperilaku seperti sistem
klasik. Pada suhu yang sangat tinggi kecepatan sistem sangat
besar sehingga
panjang gelombangnya sangat kecil. Akibatnya, tumpang tindih gelombang sistem-sistem
menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan. Sistem kuantum yang akan kita
bahas ada dua macam yaitu boson dan fermion. Boson adalah sistem yang
memiliki spin kelipatan bulat dari . Sistem ini tidak memenuhi prinsip
eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi dapat ditempati oleh sistem dalam
jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion memiliki spin yang merupakan
kelipatan ganjil dari . Sistem ini memenuhi prinsip eksklusi Pauli. Tidak ada
dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan yang sama. 1
1.2 Konfigurasi Boson
Statistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose-Einstein. Untuk
menentukan fungsi distribusi Bose-Einstein, kita terlebih dahulu harus
menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar. Konfigurasi ini memiliki
probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi lainnya
sehingga hampir seluruh waktu sistem boson membentuk konfigurasi tersebut.
Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada konfigurasi
maksimum tersebut. Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem dalam
assembli atas M kelompok sebagai berikut : Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan
dan eneri rata-rata Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata - -
Kelompok-s memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata - - - Kelompok-M
memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rataKita akan menentukan berapa cara
penyusunan yang dapat dilakukan jika : Terdapat sistem di kelompok-1 Terdapat
sistem di kelompok-2 - - - 2
3. Terdapat sistem
dikelompok-s - - - Terdapat sistem di kelompok-M Jika ditinjau kelompok-1 di
mana terdapat keadaan dan sistem. Mari kita analogikan satu
keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikan sebagai sebuah benda yang
akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat saja kosong atau menampung benda
dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitung jumlah penyusun benda,
dapat dilakukannya sebagai berikut :Gambar 1.1 Penyusunan benda dan kursi
analog dengan penyusunan boson dalam tingkat-tingkat energi. Untuk merepresentasikan
sistem boson, bagian paling bawah harus selalu kursi. 3
4. Dari gambar 1.1, apa pun
cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung bawah selalu kursi karena
benda harus disangga oleh kursi (sistem harus menempati tingkat energi).
Oleh karena itu, jika jumlah total kursi adalah jumlah total kursi dapat
dipertukarkan dengan harga karena salah satu kursi harus tetap di ujung
bawah. Bersama dengan sistem banyak , maka jumlah total benda yang
dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson adalah( Akibatnya, jumlah cara
penyusunan yang dapatdilakukan adalah . Karena sistem boson tidak dapat
dibedakan satu degan lainnya, maka pertukaran sesama sistem dan sesama kursi tidak menghasilkan
penyusunan yang berbeda.
Jumlah penyusunan sebanyak ! Secara emplisit memperhitungkan jumlah
pertukaran antara sistem dan antar kursi. Jumlah pertukaran antar sistem
adalah dan pertukaran jumlah antar kursi adalah Oleh karena itu, jumlah
penyusunan yang berbeda untuk boson di dalam keadaan hanyalah Hal yang sama
berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung keadaandengan populasi sistem. Jumlah
cara penyusunan yang berada sistem-sistem, ke dalam keadaan-keadaan
tersebut adalah terakhir
hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbeda untuk sistem dalam keadaan
adalah akhirnya
jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan sistemdi dalam
keadaan, sistem di dalam …., sistem dalam keadaanadalah 4
5. Harus juga diperhitungkan
jumlah cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam
tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilan N sistem adalah N! cara.
Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah tersebut harus dibagi
dengan N!,sehingga jumlah total cara membawa N sistem kedalam tingkat-tingkat
energi di dalam assembli adalah N!/N!=1. Akhirnya, kita dapatkan jumlah penyusunan
sistem-sistem dalam assembli boson adala1.3 Konfigurasi Maksimum Selanjutnya
kita akan menentukan konfigurasi dengan peluangkemunculan paling besar. Ambil
logaritma ruas iri dan kanan persamaan (1.5) Kemudian kita gunakan pendekatan
Stirling untuk melakukanpenyederhanaan sebagai berikut :Dengan pendekatan
tersebut maka persamaan (1.6) menjadi : 5
6. Jumlah total sistem
serta energi total assembli memenuhi Untuk assembli yang terisolasi sehingga
tidak ada pertukaran system maupun
energi antara assembli dan lingkungan. Jumlah sistem maupun energy assembli constant. Pembatasan ini dapat
dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini : Konfigurasi dengan
probabilitas maksimum diperoleh dengan memaksimumkan ln W. Dengan
memperhatikan konstrain pada persamaan (1.8)dan (1.9) maka konfigurasi dengan
probabilitas maksimum memenuhi (1.10)Selanjutnya dengan mengambil diferensial
persamaan (1.7) diperolehHitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan
(1.11)i) 6
7. ii)iii)iv)Persamaan
(1.11) selanjutnya menjadiKarena dan maka sehingga persamaan(1.12) dapat
disederhanakan lebih lanjut menjadiSubtitusikan persamaan (1.8), (1.9), dan
(1.13) ke dalam persamaan (1.10)diperolehAtau 7
8. Kesamaan di atas harus
berlaku untuk semua variasi . Ini dijamin ika bagian didalam kurung selalu nol,
yaituDan akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat
energisebagai berikutTernyata untuk assembli boson, parameter juga berbentuk
Dengandemikian, bentuk lengkap fungsi Bose-Einstein untuk assembli boson
adalah1.4 Parameter untuk foton dan fonon Parameter pada persamaan (1.16).ada
satu kekhususan untuk assemblifoton (kuantisasi gelombng elektromagnetik) dan
fonon (kuantitasi getaran atomdalam Kristal) dan ini berimplikasi pada nilai
parameter Dalam suatu kotak,foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom
yang berada pada dindingkotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli
tidak harus tetap. Jumlahfoton bias bertambah, jika atom-atom di dinding
memancarkan foton dan biasberkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton.
Untuk sistem semacam inipembatasan bahwa jumlah total sistem dalam assembli
konstan sebenarnya tidakberlaku. Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein
kita telahmengamsusikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu
. 8
9. Konstrain ini dimasukkan
dalam persamaan dengan memperkenalkan faktorpengali Langrange . Oleh karena
itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untukassembli dengan jumlah sistem
tidak tetap, seperti foton dan fonon maka nilaiharus diambil nol. Dengan nilai
ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacamini menjadi 9
10. APLIKASI STATISTIK
BOSE-EINSTEIN
Radiasi Benda HitamTeori tentang radiasi benda
hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum danfisika modern.Benda hitam
merupakan penyerap sekaligus pemancar kalorterbaik.Benda hitam dapat
dianalogikan sebagai kotak yang berisi gasfoton.Jumlah foton dalam kotak tidak
selalu konstan.Ada kalanya foton diserapoleh atom-atom yang berada di dinding
kotak dan sebaliknya atom-atom didinding kotak dapat memancarkan fotonn ke
dalam ruang kotak. Karena jumlahfoton yang tidak konstan ini maka faktor
Bose-Einstein untuk gas foton adalahYang diperoleh dengan menggunakanFoton
adalah kuantum gelombang elektromagnetik.Ekstensi fotondirespresentasikan oleh
keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karenagelombang elektromagnetik
memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi)yang saling bebas, maka
kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan duakali kerapatan gelombang
stasioner, yaitu :Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara
sampai adalahKarena energi satu foton adalah maka energy foton yang
memilikipanjang gelombang antara sampai adalah 10
11. Hukum Pergeseran WienGambar
1.2 adalah plot E( sebagai fungsi pada berbagai suhu. Tampak bahwaE( mula-mula
naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum padapanjang gelombang .
Kita dapat menentukan dengan mendiferensial E(terhadap dab menyamakan dengan
Gambar 1.2Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhuBerdasarkan persamaan
(1.20) maka 11
12. Untuk memudahkan
diferensial persamaan (1.22) persamaan diatas kita misal . Dengan pemisalan
tersebut maka dapat ditulisAgar terpenuhi maka pada persamaan 1.24 harus
memenuhiJika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikutNilai x
pada persamaan (1.26)dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jikamenggunakan
instruksi Wolfram Research, maka solusi untuk x yangmemenuhipersamaan 91.26) adalah
0,194197. Dengan demikian, memenuhihubunganAtaudengan menggunakan nilai
konstanta k=1,38x h= 6,625 x , dan maka kita peroleh 12
13. Gambar 1.3 Spektrum
energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan
persamaan radiasi matahari (gari).Gambar 1.4Warna bintang menunjukan suhu
bintang. Semakain menuju kewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya
suhu bintang semakin rendah apabila menuju ke warna merah. 13
14. Persamaan (1.28) tidak
lain daripada ungkapan hukum pergeseran Wien. Hukumini menjelaskan hubungan
antara suhu benda dengan gelombang dan intensitasmaksimum yang dipancarkan
benda tersebut.Makin tinggi suhu benda makamakin pendek gelombang yang
dipancarkan benda tersebut, atau warna bendabergeser kea rah biru.Ketika pandai
besi memanaskan logam maka warna logamberubah secara terus menerus dari semula
merah, kuning, hijau dan selanjutnya kebiru-biruan.Ini akibat suhu benda yang
semakin tinggi.Hukum pergeseran Wientelah dipakai untuk memperkirakan suhu
benda berdasarkan spectrumelektromagnetik yang dipancarkan.Energi yang
dipancarkan benda diukur padaberbagai panjang gelombang.Kemudian intensitas
tersebut diplot terhadappanjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya
diterapkan pada hukumpegeseran Wien guna memprediksi suhu benda.Pada astronom
memperkirakansuhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan
olehbintang-bintang tersebut.2.1.2 Persamaan Stefan-BoltzmannSebuah benda hitam
memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semuajangkauan frekuansi dari nol
sampai tak berhingga.Hanya intensitas gelombangyang dipancarkan
berbeda-beda.Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitasyang dipancarkan
menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju takberhingga, intensitas yang
dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitasgelombang yang dipancarkan
mencapai maksimum pada saat .Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam
diperoleh denganmengintegralkan persamaan (1.20) dari panjang gelombang nol
sampai takberhingga, yaitu 14
15. Untuk menyelesaikan persamaan
integral (1.29) misalkan . Denganpemisalan tersebut maka diperoleh
ungkapan-ungkapan berikut ini :Syarat batas yang berlaku bagi y. saat maka y=~
dan saat maka y=0.Dengan demikian, dalam variable y integral (1.29)
menjadiPersamaan (1.30) merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak.
Hubunganantara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak
adalah 15
16.
Persamaan (1.31) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman. Jadi
padapersamaan (1.31) kita dapat
menyamakanDengan menggunakan instruksi matematika sederhana kita
dapatkanSelanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain kita
dapatkannilai konstanta Stefan-boltzman.2.1.3 Cosmic Microwave Background (CMB)
Salah satu gejala penting sebagai hasil peristiwa Big bang adalahkeberadaan
radiasi yang bersifat isotropic (sama ke segala arah) di alam semestadalam
panjang gelombang mikro. Gejala ini selanjutnya dikenal dengan icosmicmicrowave
background (CMB). Radiasi ini benar-benar isotropic.Penyimpangandari sifat isotropic
hanya sekitar seper seribu.Dua astronom muda, Arno Penziasdan Robert Wilson
yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun 1965dengan menggunakan
antene horn yang dikalibrasi dengan teliti.Dengananggapan bahwa alam semesta
berupa benda hitam sempurna dan setelahdilakukan pengukuran yang teliti
intensitas radiasi gelombang mikro ini padaberbagai panjang gelombang yang
mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fitdengan persamaan radiasi benda
hitam (1.4) disimpulkan bahwa suhu rata-rataalam semesta sekarang adalah 2,725
K. 16
17.
Gambar 1.5CMB dengan persamaan radiasi benda hitam Gambar 1.6Variasi suhu alam
semesta berdasarkan posisiAda sekitar variasi suhu pada arah yang berbeda
seperti ditunjukkan dalamgambar diatas. Bagian berwarna merah sedikit lebih
panas dan bagian berarna birusedikit lebih dingin dengan penyimpangan 0,0002
derajat. 17
18.
2.2 Kapasitas kalor Kristal Dalam Kristal-kristal atom bervibrasi.Jika
diselesaikan dengan mekanikakuantum maka energy vibrasi atom-atom dalam Kristal
terkuantisasi.Kuantisasigetaran atom tersebut disebut fonon. Energy fonon
dengan bilangan kuantum nadalah . Karena jumlah fonon tidak konstan maka
fungsidistribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil . Fungsi
distribusitersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton. Karena
frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang, , maka secara umum
energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat ditulisJika fonon memiliki
sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi maka energy total
fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebutadalahPenjumlahan terhadap
dilakukan engan asumsi bahwa adalah integer. Tetapijika adalah variable kontinu
maka penjumahan terhadap dapat diganti denganintegral dengan melakukan
transformasi berikut iniTetapi karena merupakan fungsi maka kita dapat mengubah
integral terhadap menjadi integral terhadap dengan melakukan
transformasiAkhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan (1.34) menjadi
18
19.
Dari definisi energy dalam persamaan (1.37) maka kita dapat menentukankapasitas
panas yang didefinisikan sebagai berikutUntuk menyederhanakan persamaan (1.38)
mari kita lihat suku diferensial dalampersamaan tersebut. Untuk mempermudah
kita misalkan . Denganpemisalan tersebut makaDengan demikian, kapasitas kalor
dapat ditulis 19
20.
2.2.1 Model Einstein Untuk mencari kapasitas kalor Kristal, Einstein
mengusulkan modelbahwa semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik
yang sama,dengan asumsi ini maka dapat ditulisDi mana merupakanfungsi data
dirac. Dengan model ini kita dapatkankapasitas kalor Kristal untuk satu macam
polarisasi saja sebesarUntuk Kristal 3 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi
fonon yang mungkin (arahsumbu x, y, dan z).dengan menganggap bahwa ke tiga
polarisasi tersebutmemberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas
kalor totalmenjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan (1.41), yaitu
menjadiTinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T dan T .dalam kondisi Tmaka exp
[ sehingga exp [ akibatnya 20
21. Perhatikan suku pembilang danpenyebut pada persamaan
(1.43).jika T makasuku penyebut dan suku pembilang sehingga kita
dapatmengaproksimasiDengan aproksmasi ini maka persamaan (1.42) dapat ditulis
menjadiDengan bilangan Avogadro, n jumlah mold an R= konstanta gas umum.Hasil
ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bahwa kapasitas
kalorpersatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 3R. Gambar 1.7 adalah
perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalorintan (symbol) dan prediksi dengan
model Einstein. Terdapat kesesuaian yangbaik antara prediksi model tersebut
dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitaskalor yang menuju nol jika suhu
menuju nol dan nilai kapasitas kalor menujukonstanta dulong-petit pada suhu
tinggi. 21
22.
Gambar 1.7Kapasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan (simbol) dan
prediksi menggunakan model kapasitas panas Einstein.Model Einstein dapat
menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panasterhadap suhu. Sesuai
dengan pengamatan experiment bahwa pada suhu menujunol kapasitas panas menuju
nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilaiyang diramalkan
Dulong-petit.Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpanganantara data eksperimen
dengan ramalan Einstein.Pada suhu yang menuju nol, hasileksperimen
memperlihatkan bahwa kapasitas panas berubah sebagai fungsi kubik9pangkat tiga)
dari suhu, bukan seperti pada persamaan (1.42).oleh karena ituperlu
penyempurnaan pada model Einstein untuk mendapatkan hasil yang persissama dengan
eksperimen.2.2.2 Model Debeye Salah satu masalah yang muncul dalam model
Einstein adalah asumsibahwa semua fonon bervibrasi dengan frekuensi yang sama.
Tidak ada justifikasiuntuk asumsi ini.Asumsi ini digunakan semata-mata karena
kemudahanmendapatkan solusi.Oleh karena itu hasil yang lebih tepat diharapkan
muncul jikadianggap frekuensi fonon tidak seragam.Asumsi ini digunakan oleh
Debeye untukmembangun teori kapasitas panas yang lebih teliti. Namun, sebelum
masuk ke 22
23.
teori Debeye kita akan terlebih dahulu membahas kerapatan keadaan untuk
kisidalam usaha mencari ekspresi yang tepat untukFrekuensi getaran kisi dalam
Kristal secara umum tidak konstan, tetapibergantung pada bilangan gelombang.
Persamaan yang menyatakankebergantungan frekuensi dengan bilangan gelombang
dinamakan persamaandispersi, . Dari persamaan dispersi tersebut dapat
diturunkan persamaankerapatan keadaan sebagai berikutKebergantungan terhadap
kadang sangat kompleks. Sebagai contoh, untukKristal satu dimensi, kita peroleh
persamaan dispersi ,dengan m massa atom, C konstanta pegas getaran kisi, dan a
jarak antar atomdalam kisi (periodisitas). Namuun, jika sangat kecil, atau
panjang gelombangyang besat ( , jika dapatkan sebuah persamaan
aproksimasiDengan disebut kecepatan grup. Dalam membangun model kapasitas
panas,Deybe mengambil asumsi sebagai berikut : i. Frekuensi getaran kisi
memenuhi persamaan dispersi ii. Ada sebuah frekuensi maksimum, yang boleh
dimiliki fonon dalam kristal sehingga tidak ada fonon yang dimiliki frekuensi
di atas .Dari persamaan dispersi (1.46) kita dapatkan bahwa untuk ≤ , dan
sehingga kerapatan keaadaan pada persamaan (1.45) menjadi . Akhirnya jika
gabung dengan asumsi kedua tentan adanya frekuensimaksimum getaran fonon
diperoleh ungkapan umum untuk kerapatan keadaansebagai berikut : 23
24.
Gambar 1.8Kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein dan
DebeyePerbedaan kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein
danDeybe diperlihatkan pada gambar 1.8. Berapa nilai pada model Debye? Untukmenentukan
kita kembali pada defenisi bahwa adalah jumlah keadaanper satuan frekuensi.
Karena frekuensi maksimum fonon adalah maka integral dari frekuensi 0 sampai
memberikan jumlah total keadaan yang dimilikifonon, dan itu sama dengan jumlah
atom, N . Jadi, 24
25.
Yang memberikan ungkapan untuk frekuensi maksimumUntuk kemudahan mari kita
didefenisikan suhu Debye, , berdasarkan hubunganiniDengan definisi di atas
didapatkanKita asumsikan bahwa kapasitar kalor kisi yang dihasilkan oleh tiap
polarisasifonon sama besarnya. Karena terdapat tiga polarisasi getaran yang
mungkinanmaka penjumlahan terhadap indeks dalam persamaan (1.39)
mengahasilakantiga kali nilai per polarisasi. Akibatnya, tanda sumasi dapat
diganti dengan tigadan kita peroleh kapasitas panas yang disumbangkan oleh
semua polarisasimenjadi, 25
26.
Untuk menyelesaikan integral pada persamaan (1.51) kita misalkan . Dengan
permisalan tersebut makaSelanjutnya, syarat batas untuk x ditentukan sebagai
berikut. Jika maka dan jika maka . Dengan demikian, bentukintegral untuk
kapasitas panas menjadiBerdasarkan definisi pada persamaan (1.50) maka dapat
ditulis atau . Subtitusikan hubungan ini ke dalampersamaan (1.52) maka
diperoleh ungkapan kapasitas kalor dalam bentuk yanglebih sederhana sebagai
berikutSelanjutnya integral tidak bergantung lagi pada T dan hasil integral
adalah sebuahbilangan. Jika menggunakan program Mathematic, maka diperoleh
hasil integralpada persamaan (1.53) adalahDengan demikian, untuk T diperoleh 26
27.
DenganPersamaan (1.56) sangat sesuai dengan hasil eksperimen.Sebaliknya, untuk
maka penyebut pada persamaan (1.52) dapat diaproksmasi danpada pembilang dapat
diaproksimasi sehinggaYang juga persis sama dengan ramalan Dulong-Petit. 27
28.
Gambar 1.9 Kapasitas kalor argon padat diukur pada suhu jauh di bawah suhu
Debeye. Garis adalah hasil perhitungan menggunakan teori Debeye (kittel, hal
125)Gambar diatas adalah hasil pengukuran kapasitas panas argon padat
(titik-titik)beserta kurva yang diperoleh menggunakan model Deybe. Tampakbahwa
ramalanDeybe tentang kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu
sangatsesuai dengan hasil pengamatan. Teori Deybe dan Einstein hanya berbeda
padasuhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksi hasil
yangsangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi ke dua teori memberikan
prediksiyang sama persis sama dengan hukum Dulong-Petit.2.3 Kondensasi
Bose-EinsteinGambar 1.10Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan fenomena
kondensasi Bose-Einstein.Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi
Bose-Einstein. Jumlah sistem yangmenempati keadaan dengan energi pada suhu T
adalahTampak jelas dari ungkapan di atas bahwa pada suhu yang sangat rendah
sistem-sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat
rendah. Jika 28
29. T
maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah, tingkatenergi
kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. Jumlah sistem yangmenempati
keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan.Hampir semua
sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhudidinginkan hingga
dalam orde . Gambar diatas memperlihatkan evolusipopulasi boson pada tingkat
energi terendah (bagian tengah kurva). Pada suhuT<<Tc hampir semua boson
berada pada tingkat energi paling rendah. Namun, ada fenomena yang menarik di
sini. Ternyata untuk boson,keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh
sistem dalam jumlah yangsangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari
Dengan kata lain,boson tidak perlu menunggu suhu serendah untuk mendapatkansistemdalam
jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Padabeberapa material,
seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkatenergi terendah
dapat diamati pada suhu setinggi 3K. Jadi terjadi semacamkondensasi boson pada
suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. Fenomenaini dikenal dengan
kondensai Bose-Einstein.2.3.1 Kebergantungan Potensial Kimia Pada Suhu Mari
kita tengok kembali fungsi distribusi Bose-Einstein. Untukmudahnya kita gunakan
skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi Populasi keadaan dengan
tingkat energi sembarang diberikan olehpersamaan (1.53). Jumlah populasi yang
menempati tingkat energi terendah( adalahPada suhu T hampir semua sistem
menempati keadaan dengan energiterendah. Dengan demikian, jumlah populasi pada
tingkat ini memiliki orde kira-kira sama dengan jumlah total sistem, atau 29
30.
Karena nilai N sangat besar (dalam orde maka ketika T penyebut pada1/[ harus
menuju nol. Jika tidak maka 1/[ tidakakan menghasilkan nilai N yang snagat besar.
Nilai [ akan menujunol hanya jika menuju satu. Dari sifat fungsi eksponensial
bahwa mendekati 1 jika x . Jadi disimpulan bahwa pada T akan berlaku maka dapat
dilakukan aproksimasiJadi dapat diaproksimasikan sebagai berikut
iniAtauHubungan pada persamaan (1.57) menyatakan bahwa pada suhu T menuju 0
maka berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi,
padaT=1 K dan N= maka . Ini adalah nilai yang sangatkecil. Bahkan nilai ini
jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat energiterdekat dalam assembli
atom helium di alam kubus dengan sisi 1 cm.Kebergantungan pada suhu itulah yang
menyebabkan peristiwa kondensasiBose-Einstein. Agar lebih memahami fenomena
kondensasi Bose-Einstein, perhatikansistem-sistem yang berada dalam kubus dengan
sisi L. Tingkat-tingkat energy yang
dimiliki assembli memenuhi 30
31.
Tingkat energi terendah bersesuaian dengan , yaituSalah satu tingkat energi
berikutnya bersesuaian dengan yaitu,Selisih tingkat energi terendah dan tingkat
energi berikutnya adalahJika assembli tersebut adalah atom helium dalam
kubusdengan sisi 1 cm makan . Apabila kita prediksi populasi sistem pada
tingkat energi eksitasi pertamadan tingkat energi terendah dengan menggunakan
statistik Maxwell-BoltzmanadalahPada suhu T = 1 mK makaHasil diatas berarti
bahwa pada suhu 1 mk, tingkat energi terendah dan eksitansipertama memiliki
populasi yang hampir sama. Namun, dengan statistik Bose-Einstein didapatkan
hasil yang sangat berbeda. Dnegan asumsi N= dan suhuT= 1 mK maka kita
perolehJumlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama (tepat di
atastingkat energi paling rendah) adalah 31
32.
Karena maka . Lebih lanjut, mengingat maka . Dengan demikianDengan demikian,
fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalahTampak bahwa fraksi
sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. Iniberarti bahwa
sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.2.3.2 Suhu Kondensasi
EinsteinKerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis
denganPada suhu T menuju 0 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah
denganjumlah yang sangat signifikan. Jumlah total sistem dalam assembli dapat
ditulis 32
33. Dengan adalah jumlah sistem pada tingkat energi
terendah dan dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-tingkat
energilainnya.Dengan mengambil skala energi maka jumlah sistem pada tingkat
energiterendah dapat ditulisJumlah sistem yang menempati semua tingkat energi
lainnya adalahMisalkan E/kT=x. Dengan demikianSelanjutnya integralnya dapat
ditulisAkhirnya didapatkan (1.62)Dengan dinamakan konsentrasi kuantum. 33
34.
Kita definisikan suku kondensasi Bose-Einstein, sebagai suhu ketika
jumlahsistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem.
Jadi padaT= terpenuhi . Dengan menggunakan persamaan (1.62) didapatkanbahwa
pada suhu kondensasi Bose-Einstein terpenuhiYang memberikanGambar 1.11Fraksi
superfluida (sistem yang menempati keadaan dasar) dan fluida normal (sistem
yang menempati keadaan eksitasi) dalam assembli boson sebagai fungsi suhu
ketika suhu berada di bawah suhu kondensasi Bose-Einstein.Pada sembarang suhu
yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem padakeadaan tereksitasi
adalahBerarti pula bahwa fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah
34
35.
Gambar 1.11 adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energiterendah dan boson
yang menempati keadaan terkesitasi sebagai fungsisuhu. Boson yang terkodensasi
membentuk fase yang dinamakan superfluida danboson yang menempati keadaan
tereksitasi dinamakan fluida normal. Superfluidahanya dijumpai ketika suhu
lebih rendah dari .CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN1. Perlihatkan menggunakan
definisi entropi bahwa !Penyelesaian : 35
36. Entropi, secara
mikroskopik didefinisikan sebagaiVariasi kecil, menggunakan variasiKarena itu,
derivative terhadap energi dalam hubunganMemberikanDengan menggunakan batasan
danMakaDan 36
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.png)
.jpg)
.JPG)
.jpg)
